Ontelbare oneindigheidꜛ

Maar op een dag verscheen onverwachts een bus van maatschappij Cantorꜛ, die nog voller leek te zitten dan de Fränkelbussen. Normaliter bracht Cantor zijn reizigers onder in een ander hotel, maar door omstandigheden was dat onbereikbaar. In Cantor­bussenꜛ zijn stoelnummers geen gehele getallen, maar oneindige decimale fracties tussen 0 en 1. Zo begint een bepaald stoelnummer met 0,20509575098324‥, en een ander met 0,69385753820159‥ — en bij ieder mogelijk nummer is er ook een stoel, en in deze bus was iedere stoel ook bezet. Hoewel het hotel die dag leeg was kwam zelfs de bedrijfsleider er ditmaal niet uit, en de receptionist begon weer te twijfelen. In gedachten stelde hij zich de gastenlijst voor: een lijst met links de kamernummers in oplopende volgorde, en rechts de stoelnummers van de toeristen. Stel dat we het hotel zouden vullen, is het dan mogelijk dat alle reizigers van de Cantorbus een plaatsje hebben gevonden, of kon je aantonen dat er altijd, hoe dan ook, mensen buiten de boot (het hotel in dit geval) zouden vallen? Ieder stoelnummer begon met „0,”, dus dat deel kon je vergeten, zodat je gewoon een oneindige rij cijfers overhield.

Zulke verzamelingen zijn niet aftelbaar —ze zijn van een ontelbare of overaftelbare oneindigheidꜛ.

Als ik nu eens — dacht de receptionist — van ieder cijfer een opvolger definieer. De opvolger van 0 is 1, de opvolger van 1 is 2, en zo voort, en de opvolger van 9 is 0. Dan kan ik uit de gastenlijst een stoelnummer afleiden als volgt: van het stoelnummer van de gast in kamer 1 neem ik het eerste cijfer, van het stoelnummer van de gast in kamer 2 het tweede, van het stoelnummer van de gast in kamer 3 het derde, en zo voort. Dit levert me een nieuw stoelnummer op, van een gast die al dan niet in het hotel is ondergebracht. Maar nu neem ik van ieder cijfer van dit nieuwe stoelnummer de opvolger — en dan zien we het probleem, want waar slaapt de toerist met dat stoelnummer? Niet in kamer 1, want het eerste cijfer van zijn stoelnummer komt niet overeen met het eerste cijfer van het stoelnummer van de gast in kamer 1 — het is er immers de opvolger van. Ook niet in kamer 2, want het tweede cijfer van zijn stoelnummer is niet gelijk aan (want de opvolger van) het stoelnummer van de gast in kamer twee. Ook niet in kamer 3, want het derde cijfer van het stoelnummer komt niet overeen — en hetzelfde probleem geldt voor iedere kamer. Kortom: hoe we de gastenlijst ook samenstellen, we kunnen altijd een stoelnummer vinden dat buiten de boot valt. Het hotel kan zoveel gasten blijkbaar niet bergen.

Het Hilberthotel heeft aftelbaar veel kamers, maar de Cantorbus heeft overaftelbaar veel stoelen — dat wil zeggen dat je nooit een lijst kunt maken, ook geen oneindig lange, met alle stoelnummers erop.

((Toevoegen: er zijn nog grotere verzamelingen, die je zelfs niet in een Cantorbus kwijt zou kunnen. De machtsverzameling van een verzameling is altijd groter dan die verzameling zelf.

Ook toevoegen: Jules Richardsꜛ paradox, die eindige beschrijvingen gebruikt, zodat de lijst te vormen is, maar hangt op het feit dat niet alle beschrijvingen berekenbaar zijn (stopprobleem).))