Formalisering van de chaostheorie

Het chaotische gedrag kunnen we ook eenvoudig laten zien, aan de hand van een functie die op het interval van 0 tot 1 begint bij 0, stijgt tot 1, en weer daalt naar 0. De door ons al eerder beschouwde functie x−(x*x) — dat is hetzelfde als x*(1−x) — stijgt tot 1/4; dus de functie f(x) = 4*x*(1−x) doet netjes wat we willen: getallen uit [0,1] weer afbeelden op [0,1]. Even spelen met het rekenmachientje laat de chaos zien: de rij springt schijnbaar willekeurig rond. Vreemd, want x*(1−x) deed dat niet. Laten we de zaak verder onderzoeken door een factor in te voeren, die in het algemeen λ (labda) wordt genoemd, om de hoogte van het hoogste punt van de grafiek mee aan te duiden. Tussendoor kan opgemerkt worden dat de precieze vorm van f(x) er in dit onderzoekje helemaal niet toe doet: iedere convexe functie die op [0, 1] stijgt van 0 tot λ en dan weer daalt naar 0 vertoont hetzelfde soort gedrag. ((Onjuist: het gaat om de doorsnijdingen met x=y.)) Twee halve rechten van (0,5, λ) door (0, 0) en (1, 0) doen het ook.

Laat f(x) = λ*4*x*(1−x). Voor λ ≤ 1/4 ligt er geen dekpunt tussen 0 en 1; de grafiek ligt geheel onder de lijn x=y. Vanaf λ=0,5 moet er een dekpunt zijn, want het punt (0,5, λ) ligt nu op of boven de lijn, en vandaar daalt de functie weer continu naar nul, en moet de lijn dus ergens snijden.

((Te doen.))

4*λ*x*(1—x) — rekenmachientje bouwen. Grenswaarden: 0,75; 0,86237‥; ‥; geometrische reeks met als limiet 0,892486417967‥

De landschapsfunctie van deze functie: ∫ x − 4λ(x − x²)·dx = ∫ x² − (4λ+1)x·dx = 4/3 λ x³ + ((1 − 4λ) x² / 2)

(4λx³/3)+((1−λ*4)*x²/2) — dit toont echter niet de chaos.

Een derde-ordedekpunt: λ=0,9575; beginwaarde bijvoorbeeld 0,15. Een oog van orde in de chaos. Bij λ=0,9615 is het orde 6 geworden, bij λ=0,962 orde 12 — ook hier weer de verdubbelingen. Ieder systeem met een dekpunt van orde 3 is chaotisch, en in een chaotisch systeem bestaan dekpunten van iedere orde.